محاسبه آرک تانژانت بدون ماشین حساب

۱ اردیبهشت ۹۸ آموزش

در این مطلب، سه مفهومِ مهم سینوس ، کسینوس ، تانژانت و محاسبه آرک تانژانت بدون ماشین حساب را به زبان ساده تعریف خواهیم کرد. احتمالا با حذف این مفاهیم از علم ریاضی، بخش اعظمی از فیزیک نیز بایستی حذف شود! البته در ریاضیات نیز این مفاهیم به دفعات مشاهده می‌شوند. برای نمونه پاسخ‌های یک معادله درجه 3 بر حسب سینوس کسینوس ضرایب معادله بدست می‌آیند.

مثلث قائم‌الزاویه

مثلث قائم‌الزاویه به مثلثی گفته می‌شود که یکی از زوایای آن ۹۰ درجه باشد. در چنین مثلثی دو ضلع عمود بر هم وجود دارد و ضلع سوم انتهای این دو را به یکدیگر متصل می‌کند. سینوس، کسینوس و تانژانت مفاهیمی هستند که در مثلث قائم‌الزاویه معنا و مفهوم پیدا می‌کنند. جهت توضیح روابط مربوط به این مفاهیم، در ابتدا مثلثی قائم‌الزاویه را مطابق با شکل زیر در نظر بگیرید.

جهت درک بهتر مفاهیم، اجزا یک مثلث قائم‌الزاویه را مطابق با زیر نام‌گذاری می‌کنیم:

ضلع مقابل: ضلع قرار گرفته مقابل زاویه θ
ضلع مجاور: ضلع قرار گرفته کنار زاویه θ
وتر: بزرگ‌ترین ضلع مثلث قائم‌الزاویه

شکل فوق دو مثلث قائم‌الزاویه و اجزاء آن را نشان می‌دهد.

سینوس، کسینوس و تانژانت

مفاهیم سینوس، کسینوس و تانژانت برابر با نسبت اضلاع یک مثلث قائم‌الزاویه تعریف می‌شوند. در زیر مثلثی قا‌ئم‌الزاویه و توابع مثلثاتی مربوط به آن تعریف شده‌اند.

سینوس، کسینوس و تانژانت به‌ترتیب با نماد‌های cos ،sin و tan نمایش داده می‌شوند. توجه داشته باشید که برای یک زاویه‌ θ ثابت، این مقادیر ثابت هستند؛ دلیل این امر، افزایش همزمان صورت و مخرج آن‌ها است. در ادامه مثالی ذکر شده که جهت درک بهتر این مفاهیم، مطالعه آن ضروی است.

مثال 1

مثلثی را مطابق با شکل زیر در نظر بگیرید.

با توجه به شکل فوق، مقادیر sin 35⁰،cos 35⁰وtan 35⁰را بدست آورید.

طبق تعریف انجام شده در بالا، مقدار سینوس 3۵ درجه (sin 35⁰) برابر است با:

هم‌چنین مقادیر Cos 35⁰ و tan 35⁰ نیز برابرند با:

ماشین‌ حساب‌های مهندسی و علمی نیز قابلیت محاسبه مقادیر مثلثاتی – یا همان سینوس، کسینوس و تانژانت – را دارند. البته توجه داشته باشید که یک زاویه را می‌توان در دو حالت رادیان یا درجه بیان کرد. برای نمونه 3.14 رادیان برابر با 1۸۰ درجه است.

جهت به‌خاطر سپردن، می‌توانید از شکل‌های زیر استفاده کنید. در این اشکال، از فلش‌های صورتی رنگی استفاده شده که ابتدای آن اندازه ضلع قرار گرفته در صورت و انتهایش اندازه ضلعِ مخرجِ کسر را نشان می‌دهد.

توجه داشته باشید که مقادیر سینوس و کسینوس کمتر از 1 و بیشتر از 1- هستند؛ اما مقدار تانژانت می‌تواند از منفی بینهایت تا مثبت بینهایت تغییر کند.

در جدول زیر توابع مثلثاتی برای زوایای پرکاربرد در امتحانات، ذکر شده است. پیشنهاد می‌شود جدول مذکور را به خاطر بسپارید.

بدیهی است که حفظ کردن 1۵ عدد به نظر دشوار می‌رسد؛‌ از این رو روشی را ارائه می‌دهیم که با استفاده از آن می‌توان مقادیر سینوس و کسینوس را محاسبه کرد. در نتیجه با داشتن این دو مقدار و تقسیم آن‌ها به یکدیگر، مقدار تانژانت نیز قابل محاسبه خواهد بود. انگشت کوچک تا شست را به ترتیب با اعداد ۰ تا 4 نا‌مگذاری کنید. همانند شکل زیر، این انگشتان را به‌ترتیب در زوایای ۰، 3۰، 4۵، ۶۰ و ۹۰ درجه در نظر بگیرید.

به‌منظور محاسبه سینوسِ یک زاویه، از شماره انگشت مرتبط با آن جذر گرفته و بر 2 تقسیم کنید. برای نمونه فرض کنید می‌خواهید سینوس 3۰ درجه را محاسبه کنید. همان‌طور که در شکل زیر نیز مشخص شده، انگشت شماره 1 در زاویه 3۰ درجه قرار دارد، بنابراین سینوس این زاویه برابر است با:

به‌منظور محاسبه کسینوس نیز دقیقا همین کار را به‌صورت عکس انجام دهید؛ یعنی شماره انگشت شست برابر با صفر و انگشت کوچک برابر با 4 است. فرض کنید می‌خواهید کسینوس 3۰ درجه را محاسبه کنید. همان‌گونه که در شکل فوق می‌بینید شماره 3 در زاویه 3۰ درجه قرار دارد (اعداد قرمز رنگ مربوط به محاسبه کسینوس هستند). در نتیجه کسینوس زاویه 3۰ درجه برابر است با:

چرا این مفاهیم مهم هستند؟

به راستی چرا این‌ مفاهیم تعریف شده و دارای اهمیت‌اند؟ البته این مفاهیم دارای کاربرد‌های فراوانی هستند؛ اما اصلی‌ترین دلایل آن‌ها موارد زیر هستند.

با دانستن زاویه یک کمیت می‌توان اندازه آن را یافت.
با دانستن اندازه یک کمیت –برداری– می‌توان زاویه آن را یافت.

شاید بیان بالا برای شما کمی گیج‌کننده باشد؛ از این رو پیشنهاد می‌کنیم که حتما مثال زیر را مطالعه فرمایید.

مثال 2

با استفاده از مفهوم سینوس، اندازه d را در شکل زیر بیابید.

فرضیات و مجهول این مسئله به شرح زیر هستند:

زاویه کابل با سطح افقی آب برابر با 3۹ درجه است.
طول کابل برابر با 3۰ متر است.
?=d

همان‌طور که در شکل نیز مشخص شده می‌توان مثلث قائم‌الزاویه‌ای در نظر گرفت که در آن طولِ کابل برابر با وتر، فاصله d برابر با ضلع مقابل و فاصله افقی تا کشتی، برابر با ضلع مجاورِ زاویه 39 درجه است.

در ابتدا با استفاده از ماشین‌ حساب سینوس زاویه 39 درجه برابر با 0.6293 بدست می‌آید. در حقیقت:

با ضرب کردن دو طرف رابطه بالا در عدد 30، می‌توان گفت:

بنابراین اندازه d برابر با 1۸.۸۸ متر بدست می‌آید.

محاسبه آرک تانژانت بدون ماشین حساب

توجه داشته باشید تا اینجا محاسبه سه تابع اصلی مثلثاتی بدون ماشین حساب را آموختیم و حالا براحتی میتوانیم معکوس (آرک) این آنها که توابع سِکانت (آرک سینوس)، کُسِکانت (آرک کسینوس) و کُتانژانت ( آرک تانژانت ) هستند را براحتی محاسبه کنیم. که هرکدام از آن‌ها با استفاده از روابط زیر تعریف می‌شوند: