آرک تانژانت چیست ؟

در گذشته مطالبی مطرح شد که با مفهوم سینوس و کسینوس و تانژانت به زبان ساده آشنا شدیم و در این مطلب درباره مفهوم توابع معکوس مثلثاتی و بطور مثال آرک تانژانت چیست صحبت خواهیم کرد.

همان‌طور که پیش‌تر نیز بیان شد، سینوس و کسینوس و تانژانت زاویه، مفاهیمی هستند که با استفاده از آن‌ها می‌توان بین طول و زوایای یک مثلث ارتباط برقرار کرد. در ابتدا شکل زیر را در نظر بگیرید.

با توجه به شکل فوق، مقادیر مثلثاتی به صورت زیر تعریف می‌شوند:

بنابراین یک زاویه در سینوس یا کسینوس قرار داده شده و خروجی آن محاسبه می‌شود. حال اگر مقدار خروجی را داشته باشیم با استفاده از تابع سینوس معکوس یا آرک سینوس، مقدار زاویه‌ی متناسب با آن بدست می‌آید.

بنابراین تابع $$\sin \theta$$ورودی $$\theta$$ را گرفته و خروجی آن نسبت طول اضلاع می‌شود. حال تابع $${\sin }^{–1}$$ خروجی را می‌گیرد و به ما زاویه می‌دهد.

مثال 1:
مقدار $${\sin }^{–1}(0.57)$$

برای بدست آوردن این مقدار، باید نگاه کنیم و ببینیم سینوس چه زاویه‌ای برابر با ۰.۵۷ می‌شود. با استفاده از ماشین حساب می‌توان دید سینوس زاویه ۳۵ درجه برابر با ۰.۵۷ است. بنابراین می‌توان گفت:

sin–1(0.57)=35o

توجه داشته باشید که توابع معکوس مثلثاتی را ممکن است به صورت آرک نیز نشان دهند. در ادامه این شکل از تابع معکوس نشان داده شده است.

$$\begin{array}{cc}{\cos }^{–1}\left(x\right)& =\arccos \left(x\right)\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}{\sin }^{–1}\left(x\right)& =\arcsin \left(x\right)\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}{\tan }^{–1}\left(x\right)& =\arctan \left(x\right)\end{array}$$

احتمالا تاکنون متوجه شده‌اید که بیان‌های زیر معادل یکدیگر هستند.

θ=cos–1(x)⇔x=cos(θ)

θ=sin–1(x)⇔x=sin(θ)

θ=tan–1(x)⇔x=tan(θ)

مثال 2:

مقدار $${\cos }^{–1}\left(–\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

در ابتدا دایره مثلثاتی را به صورت زیر ترسیم کنید.

با توجه به دایره، مقدار کسینوس معکوس یا آرک کسینوس برابر می‌شود با: