تانژانت چیست و چگونه بدست می آید؟

تانژانت چیست ؟

تانژانت در اصل معادل کلمه فرانسوی tangente است و طبق تعریف، اگر زاویه‌ای در نظر بگیریم که رأس آن در مبدأ یک دستگاه مختصات قائم در صفحه و ضلع اول آن منطبق بر قسمت مثبت محور $$x$$ باشد، تانژانت آن زاویه عبارت است از عرض هر نقطه واقع بر ضلع دوم زاویه به‌جز رأس، تقسیم بر طولِ ناصفر آن نقطه.

برای درک بهتر مفهوم تانژانت، ابتدا باید ببینیم منظور از ضلع مقابل و مجاور چیست. وقتی می‌گوییم ضلع مقابل، منظورمان آن ضلعی است که روبه‌روی زاویه مورد نظر قرار دارد و ضلعی غیر از وتر و ضلع دیگر تشکیل‌دهنده زاویه است. منظور از ضلع مجاور نیز آن ضلعی است که در کنار وتر زاویه مورد نظر را تشکیل می‌دهد. شکل زیر، اضلاع مقابل و مجاور را برای زاویه $$\theta$$ در دو حالت مختلف نشان می‌دهد.

همان‌طور که گفتیم، تانژانت یک زاویه، با نسبت زاویه مقابل به زاویه مجاور آن زاویه تعریف می‌شود. شکل زیر این موضوع را به‌خوبی نشان می‌دهد.

دایره مثلثاتی و تانژانت

دایره مثلثاتی دایره‌ای است که مرکز آن روی مبدأ دستگاه مختصات و شعاع آن برابر با واحد (یک) است. زاویه‌های مختلف، از ۰ تا ۳۶۰ درجه، را می‌توان به‌سادگی روی محیط این دایره مشخص کرد. بدین صورت که یک نقطه را روی محیط دایره انتخاب می‌کنیم، سپس آن نقطه را به مبدأ مختصات وصل می‌کنیم. همچنین، یک عمود به محور افقی از آن نقطه رسم می‌کنیم. شکل زیر این موضوع را به‌خوبی نشان می‌دهد. تانژانت زاویه $$\theta$$ در شکل زیر، برابر خوهد بود با:

بسته به اینکه نقطه در کدام ربع باشد، تانژانت می‌تواند منفی یا مثبت شود. وقتی یکی از دو پارامتر $$x$$ و $$y$$ منفی باشند، آنگاه تانژانت نیز منفی خواهد بود. زیرا تانژانت برابر با نسبت $$\frac{\mathrm{y/}}{x}$$ است. شکل زیر نشان می‌دهد که تانژانت در کدام ربع‌ها مثبت و در کدام ربع‌ها منفی است.

جدول تانژانت 30 ، تانژانت 60 و …

برخی از زاویه‌های خاص هستند که از بر بودن تانژانت آن‌ها در بسیاری از مواقع که با مسائل ریاضی سر و کار داریم، کارساز خواهد بود. این موارد تانژانت 30 ، تانژانت 60 و چند مورد دیگر هستند که در جدول زیر آورده شده‌اند.

تانژانت فرد است یا زوج؟

با استفاده از تعریف تانژانت می‌توانیم تعیین کنیم که آیا تانژانت یک تابع فرد است یا زوج:

بنابراین، تانژانت یک تابع فرد است.

این نکات به ما کمک می‌کنند تا نمودار را ترسیم کنیم، اما باید تعیین کنیم که نمودار در جایی که تعریف نشده است چگونه رفتار می‌کند.

دامنه و برد تابع تانژانت

همان‌طور که دیدیم، تابع تانژانت در مضرب‌های فرد $$\frac{\mathrm{\pi /}}{2}$$ تعریف نمی‌شود، زیرا طبق تعریف هندسی، در این حالت، طول قاعده مثلث قائم الزاویه یا همتن ضلع مجاور صفر است و تعریف عدد بر صفر تعریف‌نشده است. بنابراین، دامنه $$\tan x$$ همه اعداد حقیقی هستند، جز مضرب‌های فرد $$\frac{\mathrm{\pi /}}{2}$$. اما، برد تابع تانژانت شامل تمام اعداد حقیقی است، زیرا مقدار $$\tan x$$ از منفی بی‌نهایت تا مثبت بی‌نهایت تغییر می‌کند. نمودر تانژانت نیز این موضوع را به‌خوبی نشان می‌دهد.

مشتق تابع تانژانت

از آنجا که تابع تانژانت برابر با نسبت سینوس به کسینوس است، با استفاده از قاعده خارج قسمت به سادگی می‌توان مشتق آن را به دست آورد:‌

فرمول‌های تانژانت

فرمول‌های تانژانت را می‌توان از فرمول‌های مشابه شامل سینوس و کسینوس استخراج کرد. در ادامه، مهم‌ترین این فرمول‌ها را معرفی می‌کنیم.

فرمول تانژانت جمع دو زاویه

فرمول تانژانت جمع دو زاویه به‌صورت زیر بیان می‌شود:

فرمول تانژانت تفاضل دو زاویه

برای تعیین فرمول تانژانت اختلاف دو زاویه، می‌توانیم از تساوی $$\tan (-\beta )=-\tan \left(\beta \right)$$ استفاده کنیم:

فرمول تانژانت دو برابر زاویه

تانژانت دو برابر زاویه را می‌توان با استفاده از فرمول تانژانت مجموع دو زاویه به‌دست آورد:

فرمول تانژانت نصف زاویه

تانژانت نیم‌زاویه را می‌توان به سه شکل مختلف زیر نوشت:

منبع:فرادرس